Producto cruz

Por definición

u x v = | u | | v | sen α

|  i    j   k |
| u₁ u₂ u₃ | = ( u₂ v₃ -  v₂ u₃) i - ( u₁ v₃ - v₁ u₃) j + ( u₁ v₂ - v₁ u₂) k
| v₁ v₂ v₃ |

Matemática

Se escribe la matríz de la siguiente forma

primera fila i j k
segunda fila vector u en x, y, z
tercera fila vector v en x, y, z

importante en ese orden
se construye el determinante
| i   j   k |
| 2 1  3  |
|-1 4 -2 |

| i   j   k |
| 2 1  3  |
|-1 4 -2 |
 1) en i, se omite lo que aparece en verde i,j,k la posición de los vectores en x.
  Se multiplican los que están señalados con rojo y se le resta la multiplicación de los que están señalados en azul :       1*-2 - 4*3 = -2 - 12 = -14 i





| i   j   k |
| 2 1  3  |
|-1 4 -2 |

2) en j, se omite lo que aparece en verde i,j,k la posición de los vectores en y.
Se multiplican los que están señalados con rojo y se le resta la multiplicación de los que están señalados en azul (este valor se multiplica por menos):     - ( 2*-2 - -1*3) = - ( -4 + 3 )= 1 j

| i   j   k |
| 2 1  3  |
|-1 4 -2 |

3) en k, se omite lo que aparece en verde i,j,k la posición de los vectores en z.
Se multiplican los que están señalados con rojo y se le resta la multiplicación de los que están señalados en azul:      2*4 - -1*1 = 8 + 1 = 9 k

El vector resultante u x v = ( -14  1  9 )

Definición gráfica

Es el producto de dos vectores con dirección perpendicular a ambos vectores

Propiedades

Anticonmutativa

u x v = - v x u

Homogénea

k ( u x v ) = ku x v = u x kv

Distributiva

u x ( v + w)  = u x v + u x w

Paralelos

si u | | v ⇒ u x v = 0

Perpendicularidad

el producto u x v es perpendicular a u, v

Producto punto

Definición gráfica

Gráficamente el Producto punto es la multiplicaciòn de la proyecciòn de un primer vector sobre un segundo a un àngulo α por la magnitud del segundo

OA º OB = OC * OB
OC es la proyección del vector azul, sobre el amarillo

OB º OA = OD * OA
OD es la proyección del vector amarillo sobre el azul

Operación matemática

Un vector se puede escribir por sus componentes, v = (2 1 3), quiere decir que su componente en x=2, y=1, z=3;
u º v = u₁v₁ + u₂ v₂ + u₃v₃
v = (2 1 3) ; u = (-1 4 -2)
v º u = 2*-1 + 1*4 +3*-2
v º u = -1 + 4 -6
v º u = -3

Ángulo entre dos vectores

u º v = |u| º |v| cos α

necesitamos la magnitud de los vectores, v, u

|v| = √(2²+1²+3²) = √14
|u| = √(1²+4²+2²) = √21

α = cos -¹ ( ( u º v ) / ( |u|*|v| ) )

Propiedades

Conmutativa

u º v = v º u

Asociativa

k º ( u º v ) = ( k º u ) º v

Distributiva

u º ( v + w) = u º v + u º w

Ortogonalidad

si u y v son ortogonales u º v =0
u₁v₁ + u₂ v₂ + u₃v₃ = 0

Vector nulo

u ≠ 0  ⇒  u º u > 0